费马小定理

在本出版物中，我们将考虑整数理论中的主要定理之一——  费马小定理以法国数学家皮埃尔·德·费马命名。 我们还将分析解决问题的示例以巩固所提供的材料。

定理陈述

1。 初始

If p 是素数 a 是一个不能被整除的整数 p然后 a^对1 - 1 除以 p.

正式写成这样： a^对1 ≥ 1 （反对 p).

请注意： 素数是一个自然数，只能被 XNUMX 和自身整除，没有余数。

例如：

• a = 2
• p = 5
• a^对1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• 数 15 除以 5 没有余数。

2.替代

If p 是素数， a 任何整数，那么 a^p 媲美 a 模 p.

a^p ≡ 一个 （反对 p)

寻找证据的历史

皮埃尔·德·费马在 1640 年提出了这个定理，但自己没有证明。 后来，这是由德国哲学家、逻辑学家、数学家等戈特弗里德威廉莱布尼茨完成的。据信，他在 1683 年就已经有了证明，尽管它从未发表过。 值得注意的是，莱布尼茨自己发现了这个定理，并不知道它早已经被制定了。

该定理的第一个证明发表于 1736 年，属于瑞士、德国、数学家和机械师莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler)。费马小定理是欧拉定理的特例。

问题示例

找出一个数的余数 2¹² on 12.

解决方案

让我们想象一个数字 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 是素数，因此，根据费马小定理，我们得到：

2¹¹ ≥ 2 （反对 11).

因此， 2⋅2¹¹ ≥ 4 （反对 11).

所以数 2¹² 除以 12 余数等于 4.