将复数提高到自然幂

在本出版物中，我们将考虑如何将复数提高到幂（包括使用 De Moivre 公式）。 理论材料附有实例以便更好地理解。

将复数乘以幂

首先，请记住复数具有以下一般形式： z = a + bi （代数形式）。

现在我们可以直接着手解决问题。

平方数

我们可以将度数表示为相同因素的乘积，然后找到它们的乘积（同时记住 i² = -1).

z² = （一+二）² = (a+bi)(a+bi)

例如1：

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16+30i

您也可以使用，即总和的平方：

z² = （一+二）² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi - b²

请注意： 同样，如果需要，可以得到差的平方、和/差的立方等公式。

第N个学位

提高一个复数 z 实物 n 如果用三角函数表示就容易多了。

回想一下，一般来说，数字的符号如下所示： z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

对于幂运算，您可以使用 De Moivre 公式 （以英国数学家 Abraham de Moivre 的名字命名）：

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

该公式是通过写成三角函数形式获得的（模块相乘，参数相加）。

例子2

提高一个复数 z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) 到八度。

解决方案

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256·（cos 280° + i sin 280°）.