在本出版物中,我们将考虑数学分析的主要概念之一——函数的极限:它的定义,以及带有实际示例的各种解决方案。
确定函数的极限
功能限制 – 该函数的值在其参数趋于极限点时趋于的值。
极限记录:
- 限制由图标指示 LIM;
- 在它下面添加了函数的参数(变量)趋向于什么值。 通常这个 x,但不一定,例如:x→1″;
- 然后将函数本身添加到右侧,例如:
因此,限制的最终记录如下所示(在我们的例子中):
读起来像 “当 x 趋于统一时,函数的极限”.
x→1 – 这意味着“x”始终采用无限接近统一的值,但永远不会与之重合(不会达到)。
决策限制
有一个给定的数字
让我们解决上述限制。 为此,只需替换函数中的单位(因为 x→1):
因此,为了解决这个限制,我们首先尝试简单地将给定的数字代入它下面的函数中(如果 x 趋向于一个特定的数字)。
无限大
在这种情况下,函数的参数无限增加,即 “x”的 趋于无穷大(∞)。 例如:
If x→∞,则给定函数趋向于负无穷大 (-∞),因为:
- 3-1 = 2
- 3 – 10 = -7
- 3 – 100 = -97
- 3 – 1000 – 997 等
另一个更复杂的例子
为了解决这个限制,也只需增加值 x 并在这种情况下查看函数的“行为”。
- RџСўРё x = 1,
y = 12 + 3 · 1 – 6 = -2 - RџСўРё x = 10,
y = 102 + 3·10 – 6 = 124 - RџСўРё x = 100,
y = 1002 + 3·100 – 6 = 10294
因此,对于 “x”的趋于无穷大,函数
具有不确定性(x 趋于无穷大)
在这种情况下,我们谈论的是极限,当函数是分数时,其分子和分母是多项式。 其中 “x”的 趋于无穷。
示例: 让我们计算下面的限制。
解决方案
分子和分母中的表达式都趋于无穷大。 可以假设在这种情况下,解决方案如下:
然而,并非一切都那么简单。 为了解决这个限制,我们需要做以下事情:
1。 找 x 分子的最高幂(在我们的例子中,它是二)。
2. 同样,我们定义 x 分母的最高幂(也等于二)。
3. 现在我们将分子和分母都除以 x 在高级学位。 在我们的情况下,在这两种情况下——在第二种情况下,但如果它们不同,我们应该取最高学位。
4. 在得到的结果中,所有分数都趋于零,因此答案是 1/2。
具有不确定性(x 趋于特定数字)
分子和分母都是多项式,但是, “x”的 趋向于一个特定的数字,而不是无穷大。
在这种情况下,我们有条件地对分母为零的事实视而不见。
示例: 让我们在下面找到函数的极限。
解决方案
1. 首先,让我们将数字 1 代入函数中, “x”的. 我们得到了我们正在考虑的形式的不确定性。
2. 接下来,我们将分子和分母分解为因子。 为此,您可以使用缩写的乘法公式,如果它们合适的话,或者。
在我们的例子中,分子中的表达式的根 (
分母 (
3. 我们得到这样一个修改后的限制:
4.分数可以减少(
5. 只剩下在极限下得到的表达式中代入数字 1: